正交矩阵
假设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵, 满足
$$A^{\mathsf T}A = AA^{\mathsf T} = I$$
即 $A^{\mathsf T}=A^{-1}$, 称 $A$ 正交矩阵(orthogonal matrix). 由上式可知: $\lVert A \rVert = \pm 1$.
设 $A=[\alpha_1, \dots, \alpha_n],\ \alpha_i$ 为 $A$ 的列向量, 满足
$$ \alpha_i \cdot \alpha_j= \begin{cases} 1 \quad i = j \\[3pt] 0 \quad i \neq j \end{cases} $$
即正交矩阵的列向量是 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基.
正交矩阵满足如下性质:
- 对于任意 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$, $$(A\mathbf{x})^{\mathsf T}(A\mathbf{y})=\mathbf{x}^{\mathsf T}\mathbf{y}$$
- 对于任一 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, $$\Vert A\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$$
- 对于任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n$, $$\Vert A\mathbf{x}-A\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert$$
上述性质采用循环式证明不难验证
假设 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}, , \mathbf{x}\neq 0$, 利用性质 2
$$ \Vert\mathbf{x}\Vert = \Vert A\mathbf{x}\Vert= \Vert\lambda \mathbf{x}\Vert = \vert\lambda\vert \Vert\mathbf{x}\Vert $$
得到: $\vert\lambda\vert = 1$, 即正交矩阵的特征值的绝对值等于 $1$.
旋转
若 $\lVert A \rVert = 1$, 则成正交矩阵 $A$ 为旋转矩阵. 当 $n=2$ 时, 逆时针旋转 $\theta$ 角度的旋转矩阵为:
$$ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$
显然, $R(\theta)^{\mathsf T}=R(-\theta)=R^{-1}(\theta)$, 且
$$\lVert R(\theta) \rVert =\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$$
以及 $R(\theta)$ 的特征值为 $\cos\theta\pm i\sin\theta$, 其中 $i=\sqrt{-1}$.
镜射
令 $\mathcal{U}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个子空间，且 $P$ 是值域为 $\mathcal{U}^\perp$ 的正交投影矩阵，满足[1]
$$P^2=P=P^T$$
给定 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, 写出 $\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(I-P)\mathbf{x}$, 其中 $P\mathbf{x}\in\mathcal{U}^\perp$, $(I-P)\mathbf{x}\in\mathcal{U}$, 因为
$$ \begin{aligned} (P\mathbf{x})^{\mathsf T}(I-P)\mathbf{x} &=\mathbf{x}^{\mathsf T}P^{\mathsf T}(I-P)\mathbf{x} \\[3pt] &=\mathbf{x}^{\mathsf T}(P-P^2 )\mathbf{x}=0 \end{aligned} $$
假设 $n=3$, 如上图所示, 令
$$S\mathbf{x}=P\mathbf{x}+(P-I)\mathbf{x}=(2P-I)\mathbf{x}$$
对于子空间 $\mathcal{U}^\perp$，我们称 $S\mathbf{x}$ 是点 $\mathbf{x}$ 的镜射点，镜射矩阵为
$$ S=2P-I$$
假设 $n=2$,
- 若 $\mathcal{U}^\perp={\mathbf{0}}$, 则正交投影矩阵为 $P_1=0$, 对于原点的镜射矩阵则为 $S_1=-I_2$.
- 若 $\mathcal{U}^\perp=L$ 为一穿越原点的直线, 称为
镜射轴, 设 $L$ 与正 $X$ 轴的夹角为 $\phi$ (以下夹角皆为逆时针转角).令 $\mathbf{v}=[\cos\phi, , \sin\phi ]^{\mathsf T}$ 代表镜射轴 $L$ 的方向向量, 即 $L=\text{span}\{\mathbf{v}\}$. 写出映至直线 $L$ 的正交投影矩阵 $$P_2=\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf T}}{\mathbf{v}^{\mathsf T}\mathbf{v}}=\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf T}$$ 相应的, 镜射轴 $L$ 的镜射矩阵为
$$ \begin{aligned} S_2&=2\mathbf{v}\mathbf{v}^{\mathsf T}-I \\[3pt] &=\begin{bmatrix} 2\cos^2\phi-1&2\cos\phi\sin\phi \\ 2\sin\phi\cos\phi&2\sin^2\phi-1 \end{bmatrix} \\[3pt] &= \begin{bmatrix} \cos 2\phi&\sin 2\phi \\ \sin 2\phi &-\cos 2\phi \end{bmatrix} \end{aligned} $$