有限元 博大精深, 开设本专题意在督促自己学习, 只能讲述一些最简单的有限元知识. 本主题将注重数学推导和有关程序实现(Matlab 为主, Python 为辅), 配以适当图示, 尽量做到不晦涩, 强调趣味性和易读性.
有限元主要用来解(偏)微分方程, 但实际某些思想在逼近向量或者函数时, 就存在了, 比如本节介绍的正交性．
逼近向量
关键词: 正交性
逼近二维向量
Approximation of planar vectors
假设 $xy$ 平面有向量 $f=[3, 5]$, 在向量 $[2, 1]$ 方向上, 寻找向量 $u$ 逼近 $f$
令 $\psi_0=[2, 1]$, 则有 $xy$ 平面的子空间
$$V={\rm span} \{\psi_0 \}.$$
使得 $u = c_0 \psi_0 \in V$, 并且 $\psi_0$ 为 $V$ 的基.
令 $e=u-f$, 并且定义范数
$$\lVert e \rVert = (e, e)^{\frac{1}{2}}.$$
则原问题转化为: 寻找 $c_0$, 使得 $\lVert e \rVert$ 最小.
这里实际上指定在向量二范数下的逼近
最小二乘法
The least squares method
定义函数
$$ \begin{align*} E(c_0) &= (e, e) = (c_0\psi_0-f, c_0\psi_0-f) \\[3pt] &= c_0^2(\psi_0, \psi_0) - 2c_0(\psi_0, f) + (f, f). \end{align*} $$
当 $\frac{\partial E }{\partial c_0} = 0$ 时, $E$ 取极值, 即
\begin{equation} \frac{\partial E}{\partial c_0} = 2c_0(\psi_0, \psi_0)-2(\psi_0, f)=0. \label{eq:eq1} \end{equation}
所以, $$c_0=\frac{(\psi_0, f)}{(\psi_0, \psi_0)}.$$ 改写式 (\ref{eq:eq1}), 得到,
$$ (f-c_0\psi_0, \psi_0)=(f-u,\psi_0)=0. $$
即所谓的 正交性
$$ (e, \psi_0)=0. $$
伽辽金方法
Galerkin method
几何上看, 从第一张图中, 很容易得到: 当向量 $e$ 垂直于 $V$ 中任意向量时, $e$ 的二范数最小, 用数学语言描述如下:
对任意 $v=s, \psi_0\in V$, 满足
$$ \begin{align*} (e, s\psi_0) &=(c_0\psi_0-v, s\psi_0) \\[3pt] &= c_0s(\psi_0, \psi_0)-s(v, \psi_0) \\[3pt] &= s\frac{(v, \psi_0)}{(\psi_0, \psi_0)}(\psi_0, \psi_0)-s(v,\psi_0)\\[3pt] &=0 \end{align*} $$
更进一步地
\begin{equation} (e, v) = 0,\quad \forall v \in V. \label{eq:eq2} \end{equation}
式 (\ref{eq:eq1}) 和式 (\ref{eq:eq2}) 本质上是一样的.
补充
从线性代数的角度看, 是这样的 $\psi_0=[2, 1], f=[3, 5]$
$$\psi_0^{\rm T} c_0 = f^{\rm T}.$$
上式显然无解, 所以, 左右同乘 $\psi_0$
$$ \psi_0\psi_0^{\rm T}c_0 = \psi_0f^{\rm T}. $$
所以
$$ c_0 = \frac{\psi_0f^{\rm T}}{\psi_0\psi_0^{\rm T}} =\frac{(\psi_0, f)}{(\psi_0, \psi_0)}. $$
逼近一般向量
二维是容易比较直观的, 但当维数增加时, 尤其 $\dim \geq 4$, 一般人类是无法想象的 😂
假设 $f$ 是任意 $N+1$ 维向量, 我们在空间
$$ V = {\rm span}\{ \psi_0, \cdots, \psi_N \}, $$
中寻找 $u$ 逼近 $f$. 假设 $\psi_0, \cdots, \psi_N$ 线性无关, 即 $V$ 的维数是 $N+1$. 那么, 对于任意 $u \in V$ 可以被写成以下线性组合
$$ u = \sum_{j=0}^N c_j\psi_j, \quad c_j \in \mathbb{R}. $$
最小二乘法
The least squares method
现在确定 $u$ 的系数 $c_0, \cdots, c_N$ 使得距 $v$ 的距离(误差) $e=u-f$ 最小. 定义函数
$$ \begin{equation} \begin{aligned} E(c_0, \cdots, c_N) &= (e, e) = ( \sum_{j=0}^N c_j\psi_j-f , \sum_{j=0}^N c_j\psi_j-f) \\ &= \sum_{p=0}^N\sum_{q=0}^N c_pc_q(\psi_p, \psi_q) - 2\sum_{j=0}^Nc_j(\psi_j, f) + (f, f). \end{aligned} \label{eq:eq3} \end{equation} $$
当系函数满足
\begin{equation} \frac{\partial E}{\partial c_i} = 0, \quad i = 0,\cdots, N. \label{eq:eq4} \end{equation}
接下来是重点
- 第一步
式 (\ref{eq:eq3}) 的第 2 项对 $c_i$ 求导
$$ \frac{\partial}{\partial c_i}(-2\sum_{j=0}^Nc_j(\psi_j, f))=-2c(\psi_i, f) $$
- 第二步
式 (\ref{eq:eq3}) 的第 1 项对 $c_i$ 求导
因为,
$$ \frac{\partial}{\partial c_i} c_pc_q= \begin{cases} 0, \quad & p \neq i \wedge q \neq i\\ c_q, \quad & p = i \wedge q \neq i\\ c_p, \quad & p \neq i \wedge q =i \\ 2c_i, \quad & p=q=i. \end{cases} $$
所以,
$$ \begin{multline*} \frac{\partial}{\partial c_i}\sum_{p=0}^N\sum_{q=0}^Nc_pc_q(\psi_p, \psi_q) =\\ \sum_{p=0,p\neq i}^Nc_p(\psi_p, \psi_i) + \sum_{q=0,q\neq i}^Nc_q(\psi_q, \psi_i) + 2c_i(\psi_i, \psi_i). \end{multline*} $$
合并前两项至第三项, 即
$$ \frac{\partial}{\partial c_i}\sum_{p=0}^N\sum_{q=0}^Nc_pc_q(\psi_p, \psi_q) = 2\sum_{j=0}^Nc_i(\psi_j, \psi_i). $$
结合 (\ref{eq:eq4}), 得到 线性方程组:
\begin{equation} \sum_{j_0}^NA_{i, j}c_j = b_i, \quad i = 0, \cdots, N. \end{equation}
其中
$$ A_{i, j} = (\psi_j, \psi_i) = (\psi_i, \psi_j) = A_{j, i}, $$
$$ b_i = (\psi_i, f). $$
伽辽金方法
Galerkin method
令 $e=u-f$, 寻找 $u$ 对于任意的 $v = \sum_{i=0}^N c_i\psi_i \in V$, 满足
$$ (e, \sum_{i=0}^N c_i\psi_i) = 0. $$
上式可写成
$$ \sum_{i=0}^Nc_i(e, \psi_i) = 0. $$
上式对于任意的 $c_0, \cdots, c_N$ 都成立, 所以
$$ (e, \psi_i) = 0, \quad i = 0, \cdots, N. $$
上式依旧可以形成一个如同式 (5) 的线性方程组
对于 $i=0, \cdots, N$, 有
$$ ({\sum_{j=0}^N} c_j\psi_j - f, \psi_i) = {\sum_{j=0}^N} (\psi_j, \psi_i)c_j - (f, \psi_i) = 0. $$
即
$$ \sum_{j=0}^N (\psi_j, \psi_i)c_j = (f, \psi_i), \quad i=0, \cdots, N. $$
小结
对于逼近向量问题, 伽辽金法(Galerkin method)和最小二乘法(The least squares method)等同.
预告
下次讨论逼近函数问题.