引言：打破“死记硬背”
在学习高等数学时，许多学生在“导数”和“微分”两章会遇到第一个障碍：两套看似不同、实则紧密相连的公式。
传统的教学方式可能是罗列两张表格让学生分别记忆，这不符合启发式教学的理念。本文旨在从根本上厘清导数与微分的关系，帮助学生将记忆负担减半，真正理解其数学意义。
核心关键：$\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$
我们必须首先让学生理解导数和微分的联系。
- 导数 (Derivative)： $f'(x) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。其本质是一个函数，代表函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处的变化率。
- 微分 (Differential)： $\mathrm{d}y$。其本质是一个改变量，代表当 $x$ 产生一个微小改动 $\mathrm{d}x$ 时，$y$ 沿着该点切线方向所产生的改变量。
从 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x)$ 这个定义式出发，在形式上，我们可以将两边同乘以 $\mathrm{d}x$，得到：
$$\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$$
这个关系式是连接导数与微分的桥梁。它清晰地表明：求一个函数的微分 $\mathrm{d}y$，等价于求它的导数 $f'(x)$，然后再乘以 $\mathrm{d}x$。
因此，学生只需要记忆一套导数公式，微分公式即可自动推导。
第一部分：基本初等函数导数公式 (重点记忆)
以下我们按照函数类别，总结核心的导数公式，并提供启发式的记忆方法。
1. 常数与幂函数
| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ | 记忆技巧 |
|---|---|---|
| $C$ (常数) | $0$ | 常数函数图像是水平线，斜率为0 |
| $x^a$ | $a \cdot x^{a-1}$ | “指数降幂，系数提前” |
| $\sqrt{x} = x^{1/2}$ | $\frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | ( $a=1/2$ 的特例) |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$ | $-1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$ | ( $a=-1$ 的特例) |
2. 指数与对数函数
| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ | 记忆技巧 |
|---|---|---|
| $e^x$ | $e^x$ | $e^x$ 是导数不变的特殊函数 |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ | 求解时 $a^x = (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a}$，再用链式法则 |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | ($e^x$ 的反函数) |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ | (使用换底公式 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ 导出) |
3. 三角函数
核心规律： 凡是函数名以 "co-" 开头的函数（$\cos, \cot, \csc$），其导数必为负值。
| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ | 记忆技巧 |
|---|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ | (正弦 $\to$ 余弦) |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | ( Co- 规律：带负号) |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | ( $\tan x = \sin x / \cos x$，用除法法则推导) |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ | ( Co- 规律：带负号) |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ | |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ | ( Co- 规律：带负号) |
4. 反三角函数
核心规律： "co-" 规律同样适用。
| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ | 记忆技巧 |
|---|---|---|
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | (重点记忆) |
| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | ( Co- 规律：差一个负号) |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ | (重点记忆，积分常用) |
| $\text{arccot } x$ | $-\frac{1}{1+x^2}$ | ( Co- 规律：差一个负号) |
第二部分：基本初等函数微分公式 (自动推导)
基于 $\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$ 的原则，我们无需“背诵”以下公式，只需“应用”第一部分的导数公式即可。
示例：
-
求 $\mathrm{d}(x^a)$：
- 因为 $(x^a)' = a x^{a-1}$
- 所以 $\mathrm{d}(x^a) = (a x^{a-1}) \mathrm{d}x$
-
求 $\mathrm{d}(a^x)$：
- 因为 $(a^x)' = a^x \ln a$
- 所以 $\mathrm{d}(a^x) = (a^x \ln a) \mathrm{d}x$
-
求 $\mathrm{d}(\cos x)$：
- 因为 $(\cos x)' = -\sin x$
- 所以 $\mathrm{d}(\cos x) = -\sin x \mathrm{d}x$
-
求 $\mathrm{d}(\arctan x)$：
- 因为 $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
- 所以 $\mathrm{d}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \mathrm{d}x$ (或 $\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$)